2016년 고2 3월 모의고사 (가형) 19번 풀이

모든 항이 양수인 수열 \left\{ a _{ n } \right\} 이 모든 자연수 n 에 대하여 \displaystyle \sum _{ k = 1 } ^ { n } a _{ k } = \dfrac { {a _{ n }} ^ { 2 } + 1 } { 2a _{ n } } 을 만족시킨다. 다음은 일반항 a _{ n } 이 a _{ n } = \sqrt { n } - \sqrt { n - 1 }\quad\cdots\cdots(\ast) 임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. (ⅰ) n = 1 일 때, a _{ 1 } = \dfrac { {a _{ 1 }} ^ { 2 } + 1 } { 2a _{ 1 } } 에서 a _{ 1 } > 0 이므로 \left (\text{좌변} \right ) = a _{ 1 } = 1 , \left (\text{우변} \right )= 1 - 0 = 1 이다. 따라서 n = 1 일 때 (\ast) 이 성립한다. (ⅱ) n = m 일 때 (\ast) 이 성립한다고 가정하면 a _{ m } = \sqrt { m } - \sqrt { m - 1 } 이므로 \begin{aligned}\displaystyle \sum _{ k = 1 } ^ { m + 1 } a _{ k } &= \sum _{ k = 1 } ^ { m } a _{ k } + a _{ m + 1 } \\&= \sum _{ k = 1 } ^ { m } \left( \sqrt { k } - \sqrt { k - 1 } \right) + a _{ m +1 } \\& = \fbox{\quad\text{(가)}\quad} + a _{ m + 1 } \end{aligned} 이다. 이때 \dfrac { {a _{ m + 1 }} ^ { 2 } + 1 } { 2a _{ m + 1 } } =\fbox{\quad\text{(가)}\quad}+a_{m+1} 즉, {a _{ m + 1 } }^ { 2 } + \fbox{\quad\text{(나)}\quad} \times a _{ m + 1 } - 1 = 0 이고, a _{ m + 1 } > 0 이므로 a _{ m + 1 } = \sqrt { m + 1 } - \sqrt { m } 이다. 따라서 n = m + 1 일 때도 ( \ast) 이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 n 에 대하여 a _{ n } = \sqrt { n } - \sqrt { n - 1 } 이다. 위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 f ( m ) , g ( m ) 이라 할 때, f ( 49 ) + g ( 16 ) 의 값은? ① 11 ② 13 ③ 15 ④ 17 ⑤ 19