2016년 고2 3월 모의고사 (나형) 16번 풀이

모든 항이 양수인 수열 \left\{a_{n}\right\} 이 모든 자연수 n 에 대하여 \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\dfrac{{a_{n}}^{2}+1}{2a_{n}} 을 만족시킨다. 다음은 일반항 a_{n} 이 a_{n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\quad\cdots\cdots(\ast) 임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. (ⅰ) n=1 일 때, a_{1}=\dfrac{{a_{1}}^{2}+1}{2a_{1}} 에서 a_{1}> 0 이므로 \left (\text{좌변} \right )=a_{1}=1 , \left (\text{우변} \right )=1-0=1 이다. 따라서 n=1 일 때 (\ast) 이 성립한다. (ⅱ) n=m 일 때 (\ast) 이 성립한다고 가정하면 a_{m}=\sqrt{m}-\sqrt{m-1} 이므로 \begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1}a_{k}&=\sum_{k=1}^{m}a_{k}+a_{m+1}\\&=\sum_{k=1}^{m} \left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)+a_{m+1}\\&=\fbox{\quad\text{(가) }\quad}+a_{m+1}\end{aligned} 이다. 이때 \dfrac{{a_{m+1}}^{2}+1}{2a_{m+1}}=\fbox{\quad\text{(가) }\quad}+a_{m+1} 즉, {a_{m+1}}^{2}+2\sqrt{m}\times a_{m+1}-1=0 이고, a_{m+1}> 0 이므로 a_{m+1}=\fbox{\quad\text{(나) }\quad}-\sqrt{m} 이다. 따라서 n=m+1 일 때도 (\ast) 이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 n 에 대하여 a_{n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1} 이다. 위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 f(m) , g(m) 이라 할 때, f(25)+g(35) 의 값은? ① 8 ② 9 ③ 10 ④ 11 ⑤ 12