2016년 고3 3월 모의고사 (나형) 16번 풀이

다음은 모든 자연수 n 에 대하여 \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}k^{2}=(−1)^{n+1}\cdot \dfrac{n(n+1) } {2}\quad\cdots\cdots(\ast) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (ⅰ) n=1 일 때, \left(\text{좌변}\right)=(-1)^{2} \times 1^{2}=1 \left(\text{우변}\right)=(-1)^{2} \times \dfrac{1\times 2} {2}=1 따라서 (\ast) 이 성립한다. (ⅱ) n=m 일 때, (\ast) 이 성립한다고 가정하면 \begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1}(−1)^{k+1}k^{2}&=\sum_{k=1}^{m}(−1)^{k+1}k^{2}+\boxed{\text{(가)}}\\&=\boxed{\text{(나)}}+\boxed{\text{(가)}}\\&=(− 1)^{m+2}\cdot\dfrac{ (m+1) (m+2)} {2}\end{aligned} 이다. 따라서 n=m+1 일 때도 (\ast) 이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 n 에 대하여 (\ast) 이 성립한다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(m) , g(m) 이라 할 때, \dfrac{f(5)}{g(2)} 의 값은? ① 8 ② 10 ③ 12 ④ 14 ⑤ 16