2016년 고3 3월 모의고사 (나형) 18번 풀이

한 변의 길이가 4 인 정사각형이 있다. 그림과 같이 지름이 2 인 두 원이 서로 한 점 \text{P}_{1} 에서 만나고 정사각형의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 \text{Q}_{1} 이라 하고, 선분 \text{P}_{1}\text{Q}_{1} 을 대각선으로 하는 정사각형 R_{1} 을 그린다. 이때, R_{1} 의 한 변의 길이를 l_{1} 이라 하자. 지름이 \dfrac{l_{1}}{2} 인 두 원이 서로 한 점 \text{P}_{2} 에서 만나고 정사각형 R_{1} 의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형 R_{1} 의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 \text{Q}_{2} 라 하고, 선분 \text{P}_{2}\text{Q}_{2} 를 대각선으로 하는 정사각형 R_{2} 를 그린다. 이때, R_{2} 의 한 변의 길이를 l_{2} 라 하자. 지름이 \dfrac{l_{2}}{2} 인 두 원이 서로 한 점 \text{P}_{3} 에서 만나고 정사각형 R_{2} 의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형 R_{2} 의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 \text{Q}_{3} 이라 하고, 선분 \text{P}_{3}\text{Q}_{3} 을 대각선으로 하는 정사각형 R_{3} 을 그린다. 이때, R_{3} 의 한 변의 길이를 l_{3} 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 그린 정사각형 R_{n} 의 한 변의 길이를 l_{n} 이라 할 때, \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}l_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{12\left(3+4\sqrt{2}\right)}{23} ② \dfrac{24\left(2+\sqrt{2}\right)}{23} ③ \dfrac{12\left(1+4\sqrt{2}\right)}{23} ④ \dfrac{3\left(3+2\sqrt{2}\right)}{7} ⑤ \dfrac{3\left(3+\sqrt{2}\right)}{7}