2016년 고3 3월 모의고사 (나형) 21번 풀이

수열 \left\{ a_ { n } \right\} 에 대하여 집합 A = \left\{ x \middle | x ^ { 2 } - 1 < a < x ^ { 2 } + 2x ,\:x \text{는 자연수}\right\} 가 공집합이 되도록 하는 자연수 a 를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, n 번째 수를 a_ { n } 이라 하자. 예를 들어, a = 3 은 x ^ { 2 } - 1 < a < x ^ { 2 } + 2x 를 만족시키는 자연수 x 가 존재하지 않는 첫 번째 수이므로 a_ { 1 } = 3 이다. \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \dfrac { 1 } { a_ { n} } 의 값은? ① \dfrac { 1 } { 2 } ② \dfrac { 3 } { 4 } ③ 1 ④ \dfrac { 5 } { 4 } ⑤ \dfrac { 3 } { 2 }