2016년 고3 4월 모의고사 (나형) 18번 풀이

다음은 모든 자연수 n 에 대하여 \dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3^{2}}+\dfrac{12}{3^{3}}+\cdots+\dfrac{4n}{3^{n}}=3-\dfrac{2n+3}{3^{n}}\:\cdots\cdots(\ast ) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. <증명> (1) n=1 일 때, \left (\text{좌변} \right )=\dfrac{4}{3} , \left (\text{우변} \right )=3-\dfrac{5}{3}=\dfrac{4}{3} 이므로 (\ast ) 이 성립한다. (2) n=k 일 때, (\ast ) 이 성립한다고 가정하면 \dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3^{2}}+\dfrac{12}{3^{3}}+\cdots+\dfrac{4k}{3^{k}}=3-\dfrac{2k+3}{3^{k}} 이다. 위 등식의 양변에 \dfrac{4(k+1)}{3^{k+1}} 을 더하여 정리하면 \begin{aligned}&\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3^{2}}+\dfrac{12}{3^{3}}+\cdots+\dfrac{4k}{3^{k}}+\dfrac{4(k+1)}{3^{k+1}} \\&=3-\dfrac{1}{3^{k}}\left\{(2k+3) - \left(\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\right)\right\} \\&=3-\dfrac{\fbox{\quad\text{(나)}\quad}}{3^{k+1}}\end{aligned} 따라서 n=k+1 일 때도 (\ast ) 이 성립한다. (1), (2)에 의하여 모든 자연수 n 에 대하여 (\ast ) 이 성립한다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(k) , g(k) 라 할 때, f(3)\times g(2) 의 값은? ① 36 ② 39 ③ 42 ④ 45 ⑤ 48