2016년 고3 4월 모의고사 (나형) 21번 풀이

자연수 n 에 대하여 집합 S _{ n } =\left \{ x\middle | x\text{는}\:3n\:\text{이하의 자연수}\right\} 의 부분집합 중에서 원소의 개수가 두 개이고, 이 두 원소의 차가 2n 보다 큰 원소로만 이루어진 모든 집합의 개수를 a _{ n } 이라 하자. \lim \limits_{ n \to \infty } \dfrac { 1 } { n ^ { 3 } } \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { n } a _{ k } 의 값은? ① \dfrac { 1 } { 7 } ② \dfrac { 1 } { 6 } ③ \dfrac { 1 } { 5 } ④ \dfrac { 1 } { 4 } ⑤ \dfrac { 1 } { 3 }