2016년 고2 6월 모의고사 (가형) 18번 풀이

다음은 모든 자연수 n 에 대하여 \displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(n+1-k)2^{k-1}=(n-2)2^{n+1}+n+4\quad\cdots\cdots(\ast) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. <증명> (1) n=1 일 때, \left (\text{좌변} \right )=1 , \left (\text{우변} \right )=1 이므로 (\ast) 이 성립한다. (2) n=m 일 때, (\ast) 이 성립한다고 가정하면 \displaystyle\sum_{k=1}^{m}k(m+1-k)2^{k-1}=(m-2)2^{m+1}+m+4 이다. n=m+1 일 때, (\ast) 이 성립함을 보이자. \begin{aligned}&\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1}k(m+2-k)2^{k-1}\\& =\sum_{k=1}^{m+1}k(m+1-k)2^{k-1}+\sum_{k=1}^{m+1}k2^{k-1}\\&=\fbox{\quad\text{(가)}\quad}+(m+4)+\sum_{k=1}^{m+1}k2^{k-1}\end{aligned} 이다. 한편 S=\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1}k2^{k-1} 이라고 하면 S=1\cdot 2^{0}+2\cdot 2^{1}+3\cdot 2^{2}+\cdots+(m+1)2^{m} 이다. \begin{aligned}S-2S&=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{m}-(m+1)2^{m+1}\\&=\fbox{\quad\text{(나)}\quad}-(m+1)2^{m+1}\end{aligned} 이므로 S=(m+1)2^{m+1}-\fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 따라서 \displaystyle\sum_{k=1}^{m+1}k(m+2-k)2^{k-1}=(m-1)2^{m+2}+m+5 그러므로 n=m+1 일 때도 (\ast) 이 성립한다. 따라서 모든 자연수 n 에 대하여 (\ast) 이 성립한다. 위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(m) , g(m) 이라 할 때, \dfrac{f(15)}{g(15)+1} 의 값은? ① 10 ② 11 ③ 12 ④ 13 ⑤ 14