2016년 고2 6월 모의고사 (가형) 20번 풀이

중심이 \text{O} 이고 길이가 4 인 선분 \text{A}_{1}\text{B}_{1} 을 지름으로 하는 반원이 있다. 그림과 같이 반원 위에 \angle \text{C}_{1}\text{A}_{1}\text{B}_{1}=30\degree , \angle \text{D}_{1}\text{B}_{1}\text{A}_{1}=30\degree 가 되도록 두 점 \text{C}_{1} , \text{D}_{1} 을 각각 정하고, 두 선분 \text{A}_{1}\text{C}_{1} , \text{B}_{1}\text{D}_{1} 과 두 호 \text{B}_{1}\text{C}_{1} , \text{A}_{1}\text{D}_{1} 로 둘러싸인 도형의 모양에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 중심이 \text{O} 이고 두 선분 \text{A}_{1}\text{C}_{1} , \text{B}_{1}\text{D}_{1} 에 접하는 원이 선분 \text{A}_{1}\text{B}_{1} 과 만나는 점을 각각 \text{A}_{2} , \text{B}_{2} 라 하자. 선분 \text{A}_{2}\text{B}_{2} 를 지름으로 하는 반원에 그림 R_{1} 을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 도형의 모양에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits _{n\to \infty}S_{n}=\dfrac{a\pi+b\sqrt{3}}{9} 이다. a+b 의 값은? \left (\text{단},\:a,\:b\text{는 정수이다}. \right ) contenthub figure ① 8 ② 9 ③ 10 ④ 11 ⑤ 12