2016년 고2 6월 모의고사 (나형) 20번 풀이

다음은 2 이상인 모든 자연수 n 에 대하여 부등식 \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{n}{n-k}\cdot \dfrac{1}{2^{k-1}} < 4\quad\cdots\cdots(\ast) 이 성립함을 증명하는 과정의 일부이다. <증명> 2 이상인 모든 자연수 n 에 대하여 \begin{aligned}a_{n}&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{n}{n-k}\cdot \dfrac{1}{2^{k-1}}\\& =\dfrac{n}{n-1}+\dfrac{n}{n-2}\cdot \dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{n}{2^{n-2}}\end{aligned} 라 하자. \begin{aligned}a_{n+1}&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{n+1}{n+1-k}\cdot \dfrac{1}{2^{k-1}} \\&=\fbox{\text{(가)}}+\dfrac{n+1}{n-1}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{n+1}{n-2}\cdot \dfrac{1}{2^{2}}+\cdots+\dfrac{n+1}{2^{n-1}}\\&=\fbox{\text{(가)}}+\\&\quad(n+1)\left(\dfrac{1}{n-1}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{n-2}\cdot \dfrac{1}{2^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)\end{aligned} 이 식을 정리 하면 a_{n+1}=\fbox{\text{(나)}}a_{n}+\dfrac{n+1}{n}\:(n \ge 2) 를 얻는다. a_{2}=2 < 4 , a_{3} < 4 이므로 (\ast) 이 성립한다. n \ge 3 일 때 a_{n} < 4 라 하자. \vdots 따라서 2 이상인 모든 자연수 n 에 대하여 (\ast) 이 성립한다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f ( n ) , g ( n ) 이라 할 때, \dfrac{48 g ( 10 )}{f(5)} 의 값은 ? ① 20 ② 22 ③ 24 ④ 26 ⑤ 28