(2016년 시행) 2017학년도 고3 6월 평가원 모의고사 (가형) 17번 풀이

그림과 같이 포물선 y ^ { 2 } = 4x 위의 점 \text{A} \left( t ^ { 2 } ,\:2t \right) 에서 이 포물선의 준선 l 에 내린 수선의 발을 \text{B} 라 하자. 다음은 점 \text{A} 에서의 접선과 직선 \text{OB} 가 만나는 점을 \text{P} 라 할 때, 점 \text{P} 의 좌표를 구하는 과정이다. \left(\text{단},\:t \ne 0\text{이고 O는 원점이다.}\right) contenthub figure 포물선의 방정식 y ^ { 2 } = 4x 의 양변을 x 에 대하여 미분하여 정리하면 \dfrac { dy } { dx } = \fbox{\quad\text{(가)}\quad}\: \left (\text{단},\:y \ne 0 \right ) 이므로 점 \text{A} \left( t ^ { 2 } ,\:2t \right) 에서의 접선의 방정식을 구하면 y = \fbox{\quad\text{(나)}\quad} \times x + t \quad\cdots\cdots ㉠ 이다. \text{B}\left(\fbox{\quad\text{(다)}\quad},\:2t \right) 이므로 직선 \text{OB} 의 방정식은 y = \dfrac { 2t } { \fbox{\quad\text{(다)}\quad} } x \quad\cdots\cdots ㉡ 이다. ㉠, ㉡을 연립하여 점 \text{P} 의 좌표를 구하면 \left( \fbox{\quad\text{(다)}\quad}\times \dfrac { t ^ { 2 } } { 2t ^ { 2 } + 1 },\:\dfrac { 2t ^ { 3 } } { 2t ^ { 2 } + 1 } \right) 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f ( y ) , g ( t ) 라 하고, (다)에 알맞은 수를 a 라 할 때, f ( a ) \times g ( a ) 의 값은? ① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8 ⑤ 10