2016년 고3 7월 모의고사 (가형) 17번 풀이

미분가능한 함수 f(x) 와 f(x) 의 역함수 g(x) 가 g\left(3f(x) -\dfrac{2}{e^{x}+e^{2x}}\right)=x 를 만족시킬 때, 다음은 g^{\prime}\left(\dfrac{1}{2}\right) 의 값을 구하는 과정이다. g\left(3f(x) -\dfrac{2}{e^{x}+e^{2x}}\right)=x 에서 3f(x) -\dfrac{2}{e^{x}+e^{2x}}=g^{-1}(x) 이므로 f(x)=\dfrac{1}{\fbox{\quad\text{(가)}\quad}} 이다. f(x) 의 도함수를 구하면 f^{\prime}(x)=\dfrac{-e^{x}-2e^{2x}}{\biggl({\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\biggr)^{2}}} 이다. f(0)=\dfrac{1}{2} 이므로 g\left(\dfrac{1}{2}\right)=0 이다. 그러므로 g^{\prime}\left(\dfrac{1}{2}\right)=\fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 위의 (가)에 알맞은 식을 h(x) , (나)에 알맞은 수를 p 라 할 때, p\times h(\ln 2) 의 값은? ① -8 ② -4 ③ 0 ④ 4 ⑤ 8