2016년 고3 7월 모의고사 (가형) 21번 풀이

그림과 같이 중심이 \text{O} 이고 반지름의 길이가 1 인 원의 둘레를 n(n \ge 4) 등분한 점을 \text{A}_{1} , \text{A}_{2} , \cdots , \text{A}_{n} 이라 하자. 호 \text{A}_{i}\text{A}_{i+1}\:(i=1,\:2,\:\cdots,\:n) 을 이등분한 점을 \text{M}_{i} 라 하고 사각형 \text{A}_{i}\text{M}_{i}\text{A}_{i+1}\text{N}_{i} 가 마름모가 되도록 하는 선분 \text{OM}_{i} 위의 점을 \text{N}_{i} 라 하자. n 개의 사각형 \text{A}_{1}\text{M}_{1}\text{A}_{2}\text{N}_{1} , \text{A}_{2}\text{M}_{2}\text{A}_{3}\text{N}_{2} , \text{A}_{3}\text{M}_{3}\text{A}_{4}\text{N}_{3} , \cdots , \text{A}_{n}\text{M}_{n}\text{A}_{n+1}\text{N}_{n} 의 넓이의 합을 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n\to\infty}\left(n^{2}\times S_{n}\right) 의 값은? \left(\text{단},\:\text{A}_{n+1}=\text{A}_{1}\right) contenthub figure ① \pi^{3} ② 2\pi^{3} ③ 3\pi^{3} ④ 4\pi^{3} ⑤ 5\pi^{3}