2016년 고3 7월 모의고사 (나형) 19번 풀이

다음은 모든 자연수 n 에 대하여 \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1) (2n+1-2k)^{2}=\dfrac{n^{2}\left(2n^{2}+1\right)}{3} 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (ⅰ) n=1 일 때, \left(\text{좌변}\right)=1 , \left(\text{우변}\right)=1 이므로 주어진 등식은 성립한다. (ⅱ) n=m 일 때, 등식 \displaystyle\sum_{k=1}^{m}(2k-1) (2m+1-2k)^{2}=\dfrac{m^{2}\left(2m^{2}+1\right)}{3} 이 성립한다고 가정하자. n=m+1 일 때, \begin{aligned}&\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1}(2k-1) (2m+3-2k)^{2} \\&=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}(2k-1) (2m+3-2k)^{2}+\boxed{\quad\text{(가)}\quad} \\&=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}(2k-1) (2m+1-2k)^{2} \\&\quad+\boxed{\quad\text{(나)}\quad}\times\displaystyle\sum_{k=1}^{m}(2k-1) (m+1-k)+\boxed{\quad\text{(가)}\quad}\\&=\dfrac{(m+1)^{2}\left\{2(m+1)^{2}+1\right\}}{3} \end{aligned} 이다. 따라서 n=m+1 일 때도 주어진 등식이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 n 에 대하여 주어진 등식이 성립한다. 위의 (가)에 알맞은 식을 f(m) , (나)에 알맞은 수를 p 라 할 때, f(3)+p 의 값은? ① 11 ② 13 ③ 15 ④ 17 ⑤ 19