2016년 고3 7월 모의고사 (나형) 29번 풀이

그림과 같이 한 변의 길이가 4 인 정삼각형 \text{ABC} 와 점 \text{A} 를 지나고 직선 \text{BC} 와 평행한 직선 l 이 있다. 자연수 n 에 대하여 중심 \text{O} _{ n } 이 변 \text{AC} 위에 있고 반지름의 길이가 \sqrt { 3 }\left ( \dfrac { 1 } { 2 }\right ) ^ { n - 1 } 인 원이 직선 \text{AB} 와 직선 l 에 모두 접한다. 이 원과 직선 \text{AB} 가 접하는 점을 \text{P} _{ n } , 직선 \text{O} _{ n } \text{P} _{ n } 과 직선 l 이 만나는 점을 \text{Q} _{ n } 이라 하자. 삼각형 \text{BO} _{ n } \text{Q} _{ n } 의 넓이를 S _{ n } 이라 할 때, \lim\limits _{ n \to \infty } 2 ^ { n } S _{ n } = k 이다. k ^ { 2 } 의 값을 구하시오. contenthub figure