2016년 고2 9월 모의고사 (가형) 18번 풀이

수열 \left\{a_{n}\right\} 의 일반항은 a _{ n } = n + 1 이다. 다음은 모든 자연수 n 에 대하여 \left(\displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { n } a _{ k } \right) ^ { 2 } = \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { n } ( a _{ k } ) ^ { 3 } - 2 \sum _{ k = 1 } ^ { n } a _{ k } \quad\cdots\cdots(\ast) 이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. (ⅰ) n = 1 일 때 (\text{좌변})= \left( \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { 1 } a _{ k } \right) ^ { 2 } = \fbox{\quad\text{(가)}\quad} , (\text{우변}) =\displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { 1 } \left( a _{ k } \right) ^ { 3 } - 2 \sum _{ k = 1 } ^ { 1 } a _{ k } = \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이므로 (\ast) 이 성립한다. (ⅱ) n = m \:( m \ge 1 ) 일 때, (\ast) 이 성립한다고 가정하면 \left( \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { m } a _{ k } \right) ^ { 2 } = \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { m } \left( a _{ k } \right) ^ { 3 } - 2 \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { m } a _{ k } 이므로 \begin{aligned}& \left( \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { m + 1 } a _{ k } \right) ^ { 2 } = \left( \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { m } a _{ k } + a _{ m + 1 } \right) ^ { 2 } \\& = \left( \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { m } a _{ k } \right) ^ { 2 } + 2 \left( \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { m } a _{ k } \right) a _{ m + 1 } + \left( a _{ m + 1 } \right) ^ { 2 } \\& = \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { m } \left( a _{ k } \right) ^ { 3 } - 2 \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { m } a _{ k } + 2 \left( \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { m } a _{ k } \right) a _{ m + 1 } + \left( a _{ m + 1 } \right) ^ { 2 } \\&= \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { m } \left( a _{ k } \right) ^ { 3 } + \left(\fbox{\quad\text{(나)}\quad}\right) \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { m } a _{ k }+\left(a_{m+1}\right)^{2}\\&= \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { m }\left( a _{ k } \right) ^ { 3 } + m ^ { 3 } + 5m ^ { 2 } + 7m + 4\\& = \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { m } \left( a _{ k } \right) ^ { 3 } + \left( a _{ m + 1 } \right) ^ { 3 } - \left( m ^ { 2 } + 5m + 4 \right) \\& = \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { m + 1 } \left( a _{ k } \right) ^ { 3 } - 2 \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { m + 1 } a _{ k } \end{aligned} 이다. 따라서 n = m + 1 일 때에도 ( \ast) 이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 n 에 대하여 ( \ast) 이 성립한다. 위의 (가)에 알맞은 수를 p , (나)에 알맞은 식을 f ( m ) 이라 할 때, f ( p ) 의 값은? ① 10 ② 11 ③ 12 ④ 13 ⑤ 14