2016년 고2 9월 모의고사 (가형) 20번 풀이

그림과 같이 한 변의 길이가 2 인 정사각형 \text{A} _{1} \text{B}_{1} \text{C}_{1} \text{D}_{1} 에서 중심을 \text{B}_{1} , 선분 \text{B}_{1} \text{C}_{1} 을 반지름으로 하고 중심각의 크기가 90\degree 인 부채꼴 \text{B}_{1} \text{C}_{1} \text{A}_{1} 을 그린다. 부채꼴 \text{B}_{1} \text{C}_{1} \text{A}_{1} 의 호 \text{C}_{1} \text{A}_{1} 을 삼등분하는 두 점을 각각 \text{E} _{1} , \text{F} _{1} 이라 하고, 선분 \text{B} _{1} \text{E} _{1} 을 그린다. 점 \text{F} _{1} 을 한 꼭짓점으로 하고 부채꼴 \text{B} _{1} \text{E} _{1} \text{A} _{1} 에 내접하는 정삼각형에 색칠하여 얻은 그림을 R _{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에 점 \text{D}_{1} 과 부채꼴 \text{B}_{1} \text{C} _{1} \text{A}_{1} 의 호 \text{C}_{1} \text{A}_{1} 을 이등분하는 점 \text{B} _{2} 를 대각선의 양 끝점으로 하는 정사각형 \text{A}_{2} \text{B}_{2} \text{C}_{2} \text{D}_{1} 을 그리고, 정사각형 \text{A}_{2} \text{B}_{2} \text{C}_{2} \text{D}_{1} 에 그림 R _{1} 을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 정삼각형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R _{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S _{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n\to\infty}S _{n} 의 값은? \left(\text{단},\:\angle \text{A} _{n} \text{B} _{n} \text{E} _{n} =60\degree\right) contenthub figure ① \dfrac{3\sqrt{6}+2\sqrt{3}}{21} ② \dfrac{4\sqrt{6}+2\sqrt{3}}{21} ③ \dfrac{4\sqrt{6}+3\sqrt{3}}{21} ④ \dfrac{5\sqrt{6}+2\sqrt{3}}{21} ⑤ \dfrac{5\sqrt{6}+3\sqrt{3}}{21}