2016년 고2 9월 모의고사 (나형) 19번 풀이

수열 \left\{a_{n}\right\} 의 일반항은 a_{n}=n+1 이다. 다음은 모든 자연수 n 에 대하여 \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}\right)^{2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}\right)^{3}-2\sum_{k=1}^{n} a_{k}\quad\cdots\cdots\:(\ast) 이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. (ⅰ) n=1 일 때 (\text{좌변})=\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{1} a_{k}\right)^{2}=\fbox{\quad\text{(가)}\quad} , (\text{우변})=\displaystyle\sum_{k=1}^{1}\left(a_{k}\right)^{3}-2\sum_{k=1}^{1} a_{k}=\fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이므로 (\ast ) 이 성립한다. (ⅱ) n=m\:(m \ge 1) 일 때, (\ast ) 이 성립한다고 가정하면 \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{m} a_{k}\right)^{2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\left(a_{k}\right)^{3}-2\sum_{k=1}^{m} a_{k} 이므로 \begin{aligned}&\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1} a_{k}\right)^{2}\\&=\left(\sum_{k=1}^{m} a_{k}+a_{m+1}\right)^{2} \\&=\left(\sum_{k=1}^{m} a_{k}\right)^{2}+2\left(\sum_{k=1}^{m} a_{k}\right) a_{m+1}+\left(a_{m+1}\right)^{2} \\&=\sum_{k=1}^{m}\left(a_{k}\right)^{3}-2\sum_{k=1}^{m} a_{k}+2\left(\sum_{k=1}^{m} a_{k}\right) a_{m+1}+\left(a_{m+1}\right)^{2} \\&=\sum_{k=1}^{m}\left(a_{k}\right)^{3}+\left(\fbox{\quad\text{(나)}\quad}\right)\sum_{k=1}^{m} a_{k}+\left(a_{m+1}\right)^{2} \\&=\sum_{k=1}^{m}\left(a_{k}\right)^{3}+m^{3}+5m^{2}+7m+4 \\&=\sum_{k=1}^{m}\left(a_{k}\right)^{3}+\left(a_{m+1}\right)^{3}-\left(m^{2}+5m+4\right) \\&=\sum_{k=1}^{m+1}\left(a_{k}\right)^{3}-2\sum_{k=1}^{m+1} a_{k}\end{aligned} 이다. 따라서 n=m+1 일 때에도 (\ast ) 이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 n 에 대하여 (\ast ) 이 성립한다. 위의 (가)에 알맞은 수를 p , (나)에 알맞은 식을 f(m) 이라 할 때, f(p) 의 값은? ① 10 ② 11 ③ 12 ④ 13 ⑤ 14