(2016년 시행) 2017학년도 고3 9월 평가원 모의고사 (가형) 17번 풀이

1 부터 n 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 n 장의 카드가 있다. 이 카드 중에서 임의로 서로 다른 4 장의 카드를 선택할 때, 선택한 카드 4 장에 적힌 수 중 가장 큰 수를 확률변수 X 라 하자. 다음은 \text{E}(X) 를 구하는 과정이다. \left(\text{단}, \:n \ge 4\right) 자연수 k\:(4 \le k \le n) 에 대하여 확률변수 X 의 값이 k 일 확률은 1 부터 k-1 까지의 자연수가 적혀 있는 카드 중에서 서로 다른 3 장의 카드와 k 가 적혀 있는 카드를 선택하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누는 것이므로 \text{P}(X=k)=\dfrac{\boxed{\quad\text{(가)}\quad}}{\\_{n}\text{C}_{4}} 이다. 자연수 r\:(1 \le r \le k) 에 대하여 \\_{k}\text{C}_{r}=\dfrac{k}{r}\times\\_{k-1}\text{C}_{r-1} 이므로 k\times\boxed{\quad\text{(가)}\quad}=4\times\boxed{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 그러므로 \begin{aligned}\text{E}(X)&=\displaystyle\sum_{k=4}^{n}\{k\times\text{P}(X=k)\} \\&=\dfrac{1}{{}_{n}\text{C}_{4}}\sum_{k=4}^{n}\left(k\times\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\right) \\&=\dfrac{4}{{}_{n}\text{C}_{4}}\sum_{k=4}^{n}\fbox{\quad\text{(나)}\quad}\end{aligned} 이다. \displaystyle\sum_{k=4}^{n}\fbox{\quad\text{(나)}\quad}= \\_{n+1}\text{C}_{5} 이므로 \text{E}(X)=(n+1)\times \fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(k) , g(k) 라 하고, (다)에 알맞은 수를 a 라 할 때, a\times f(6)\times g(5) 의 값은? ① 40 ② 45 ③ 50 ④ 55 ⑤ 60