(2016년 시행) 2017학년도 고3 9월 평가원 모의고사 (나형) 16번 풀이

그림과 같이 한 변의 길이가 1 인 정사각형 A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 안에 꼭짓점 A_{1} , C_{1} 을 중심으로 하고 선분 A_{1}B_{1} , C_{1}D_{1} 을 반지름으로 하는 사분원을 각각 그린다. 선분 A_{1}C_{1} 이 두 사분원과 만나는 점 중점 A_{1} 과 가까운 점을 A_{2} , 점 C_{1} 과 가까운 점을 C_{2} 라 하자. 선분 A_{1}D_{1} 에 평행하고 점 A_{2} 를 지나는 직선이 선분 A_{1}B_{1} 과 만나는 점을 E_{1} , 선분 B_{1}C_{1} 에 평행하고 점 C_{2} 를 지나는 직선이 선분 C_{1}D_{1} 과 만나는 점을 F_{1} 이라 하자. 삼각형 A_{1}E_{1}A_{2} 와 삼각형 C_{1}F_{1}C_{2} 를 그린 후 두 삼각형의 내부에 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에 선분 A_{2}C_{2} 를 대각선으로 하는 정사각형을 그리고, 새로 그려진 정사각형 안에 그림 R_{1} 을 얻는 것과 같은 방법으로 두 개의 사분원과 두 개의 삼각형을 그리고 두 삼각형의 내부에 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits _{n\to\infty} S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{1}{12}\left(\sqrt{2}-1\right) ② \dfrac{1}{6}\left(\sqrt{2}-1\right) ③ \dfrac{1}{4}\left(\sqrt{2}-1\right) ④ \dfrac{1}{3}\left(\sqrt{2}-1\right) ⑤ \dfrac{5}{12}\left(\sqrt{2}-1\right)