2016년 고3 10월 모의고사 (가형) 16번 풀이

함수 f(x)=\dfrac{3^{x}}{3^{x}+3} 에 대하여 점 (p ,\: q) 가 곡선 y=f(x) 위의 점이면 실수 p 의 값에 관계없이 점 (2a-p ,\: a-q) 도 항상 곡선 y=f(x) 위의 점이다. 다음은 상수 a 의 값을 구하는 과정이다. 점 (2a-p, \: a-q) 가 곡선 y=f(x) 위의 점이므로 \dfrac{3^{2a-p}}{3^{2a-p}+3}=a-\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\quad\cdots\cdots㉠ 이다. ㉠은 실수 p 의 값에 관계없이 항상 성립하므로 p=0 일 때, \dfrac{3^{2a}}{3^{2a}+3}=a-\dfrac{1}{4}\quad\cdots\cdots㉡ 이고, p=1 일 때, \dfrac{3^{2a}}{3^{2a}+\fbox{\quad\text{(나)}\quad}}=a-\dfrac{1}{2}\quad\cdots\cdots㉢ 이다. ㉡, ㉢에서 \left(3^{2a}+3\right) \left(3^{2a}+\fbox{\quad\text{(나)}\quad}\right)=24\times 3^{2a} 이므로 a=\dfrac{1}{2} 또는 a=\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 이때, ㉢에서 좌변이 양수이므로 a >\dfrac{1}{2} 이다. 따라서 a=\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가)에 알맞은 식을 g(p) 라 하고 (나)와 (다)에 알맞은 수를 각각 m , n 이라 할 때, (m-n)\times g(2) 의 값은? ① 4 ② \dfrac{9}{2} ③ 5 ④ \dfrac{11}{2} ⑤ 6