2016년 고3 10월 모의고사 (나형) 18번 풀이

서로 다른 두 점에서 만나는 두 곡선 C _{ 1 } : y = x ^ { 2 } - 2x + 2 , C _{ 2 } : y = - x ^ { 2 } + ax + b 의 한 교점을 \text{P} 라 하고, 점 \text{P} 에서 두 곡선 C _{ 1 } , C _{ 2 } 에 접하는 직선을 각각 l , m 이라 하자. 두 접선 l , m 이 서로 수직일 때, 곡선 C _{ 2 } 는 두 실수 a , b 의 값에 관계없이 일정한 점 \text{Q} 를 지난다. 다음은 점 \text{Q} 의 좌표를 구하는 과정이다. f ( x ) = x ^ { 2 } - 2x + 2 , g ( x ) = - x ^ { 2 } + ax + b 라 하고, 두 곡선 C _{ 1 } , C _{ 2 } 의 한 교점 \text{P} 의 x 좌표를 t 라 하자. 두 접선 l , m 이 서로 수직이므로 f ^{\prime}( t ) g^{\prime}( t ) = - 1 에서 4t ^ { 2 } - 2 ( a + 2 ) t +\boxed{\quad\text{(가)}\quad}= 0 \qquad\cdots \cdots ㉠ f ( t ) = g ( t ) 에서 2t ^ { 2 } - ( a + 2 ) t + 2 - b = 0\qquad\cdots\cdots ㉡ ㉠, ㉡에서 b = \boxed{\quad\text{(나)}\quad}- a 를 y = - x ^ { 2 } + ax + b 에 대입하고 a 에 관하여 정리하면, a ( x - 1 ) - x ^ { 2 } - y +\boxed{\quad\text{(나)}\quad} = 0\qquad\cdots\cdots ㉢ ㉢에서 x - 1 = 0 , - x ^ { 2 } - y +\boxed{\quad\text{(나)}\quad}= 0 을 만족시키는 x 와 y 의 값을 구하면 점 \text{Q} 의 좌표는 \left( 1,\:\boxed{\quad\text{(다)}\quad}\right) 이다. 위의 (가)에 알맞은 식을 h ( a ) 라 하고, (나)와 (다)에 알맞은 수를 각각 \alpha , \beta 라 할 때, h ( \alpha ) \times h ( \beta ) 의 값은? ① 4 ② 8 ③ 12 ④ 16 ⑤ 20