2016년 고2 11월 모의고사 (가형) 18번 풀이

자연수 n 에 대하여 두 함수 f(x) , g(x) 를 f(x)=x^{n+2}-3\left(3^{n+1}-1\right) , g(x)=3^{n+1}(n+2) (x-3) 이라 하자. 다음은 x \ge 3 인 모든 실수 x 에 대하여 부등식 f(x) > g(x) 가 성립함을 증명하는 과정이다. 함수 h(x) 를 h(x)=f(x)-g(x) 라 하면 h(x) 는 (n+2) 차 다항함수이다. h^{\prime}(x)=(n+2)\times \left(\fbox{\quad\text{(가) }\quad}\right) x > 3 에서 h^{\prime}(x) > 0 이므로 함수 h(x) 는 증가한다. x \ge 3 에서 h(x) 의 최솟값은 \fbox{\quad\text{(나) }\quad} x \ge 3 에서 h(x) \ge \fbox{\quad\text{(나) }\quad} > 0 이므로 f(x)-g(x) > 0 따라서 x \ge 3 인 모든 실수 x 에 대하여 부등식 f(x) > g(x) 가 성립한다. 위의 (가)에 알맞은 식을 A(x) , (나)에 알맞은 수를 p 라 할 때, \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{p\times A(4)}{4^{n}} 의 값은? ① 4 ② 8 ③ 12 ④ 16 ⑤ 20