2016년 고2 11월 모의고사 (나형) 19번 풀이

다음은 모든 자연수 n 에 대하여 \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1)2^{k-1}=(2n-3)2^{n}+3\cdots\cdots (\ast) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. <증명> (1) n=1 일 때, (\text{좌면})=(2\times 1-1)\times 2^{0}=1 , (\text{우면})=(2\times 1-3)\times 2^{1}+3=1 이므로 (\ast) 이 성립한다. (2) n=m 일 때, (\ast) 이 성립한다고 가정하면 \displaystyle\sum_{k=1}^{m}(2k-1)2^{k-1}=(2m-3)2^{m}+3 이다. n=m+1 일 때, (\ast) 이 성립함을 보이자. \displaystyle\sum_{k=1}^{m+1}(2k-1)2^{k-1}\\=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}(2k-1)2^{k-1}+\left(\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\right)\times 2^{m}\\=(2m-3)2^{m}+3+\left(\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\right)\times 2^{m}\\=\left(\fbox{\quad\text{(나)}\quad}\right) \times 2^{m+1}+3 따라서 n=m+1 일 때도 (\ast) 이 성립한다. (1) , (2) 에 의하여 모든 자연수 n 에 대하여 (\ast) 이 성립한다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(m) , g(m) 이라 할 때, f(4)\times g(2) 의 값은? ① 15 ② 18 ③ 21 ④ 24 ⑤ 27