(2016년 시행) 2017학년도 수능 (가형) 17번 풀이

좌표평면 위의 한 점 (x,\: y) 에서 세 점 (x+1,\: y) , (x,\: y+1) , (x+1,\:y+1) 중 한 점으로 이동하는 것을 점프라 하자. 점프를 반복하여 점 (0,\:0) 에서 점 (4,\:3) 까지 이동하는 모든 경우 중에서, 임의로 한 경우를 선택할 때 나오는 점프의 횟수를 확률변수 X 라 하자. 다음은 확률변수 X 의 평균 \text{E}(X) 를 구하는 과정이다. \left(\text{단, 각 경우가 선택되는 확률은 동일하다.}\right) 점프를 반복하여 점 (0,\:0) 에서 점 (4,\:3) 까지 이동하는 모든 경우의 수를 N 이라 하자. 확률변수 X 가 가질 수 있는 값 중 가장 작은 값을 k 라 하면 k=\fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이고, 가장 큰 값은 k+3 이다. \text{P}(X=k)=\dfrac{1}{N} \times \dfrac{4!}{3!}=\dfrac{4}{N} \text{P}(X=k+1)=\dfrac{1}{N} \times \dfrac{5!}{2!2!}=\dfrac{30}{N} \text{P}(X=k+2)=\dfrac{1}{N} \times \fbox{\quad\text{(나)}\quad} \text{P}(X=k+3)=\dfrac{1}{N} \times \dfrac{7!}{3!4!}=\dfrac{35}{N} 이고 \displaystyle \sum_{i=k}^{k+3} \text{P}(X=i)=1 이므로 N=\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 따라서 확률변수 X 의 평균 \text{E}(X) 는 다음과 같다. \text{E}(X)=\displaystyle \sum_{i=k}^{k+3}\{i \times \text{P}(X=i)\}=\dfrac{257}{43} 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 a , b , c 라 할 때, a+b+c 의 값은? ① 190 ② 193 ③ 196 ④ 199 ⑤ 202