2017년 고2 3월 모의고사 (가형) 16번 풀이

자연수 N 을 음이 아닌 정수 m 과 홀수 p 에 대하여 N = 2 ^{m}\times p 로 나타낼 때, f (N) = m 이라 하자. 예를 들어, 40 = 2 ^{3}\times 5 이므로 f (40) = 3 이다. 다음은 모든 자연수 n 에 대하여 f \left (3 ^{2 n- 1}+ 1 \right) = 2 \quad \cdots \cdots (\ast) 임을 수학적 거납법을 이용하여 증명한 것이다. (ⅰ) n = 1 일 때, 3 ^{1}+ 1 = 2 ^{2}\times 1 이므로 f \left (3 ^{1}+ 1 \right) = 2 이다. 따라서 n = 1 일 때 (\ast) 이 성립한다. (ⅱ) n = k 일 때 (\ast) 이 성립한다고 가정하면 f \left (3 ^{2 k- 1}+ 1 \right) = 2 음이 아닌 정수 m 과 홀수 p 에 대하여 3 ^{2 k- 1}+ 1 = 2 ^{m}\times p 로 나타낼 수 있으므로 3 ^{2 k- 1}+ 1 = \boxed{\quad\text{(가)}\quad} \times p 이다. \begin{aligned} 3 ^{2 (k + 1)- 1}+ 1 & = 9 \times 3 ^{2 k- 1}+ 1 \\ & = 2 ^{2}\times \left(\boxed{\quad\text{(나)}\quad}\right) \end{aligned} 이고, p 는 홀수이므로 \boxed{\quad\text{(나)}\quad} 도 홀수이다. 따라서 f \left (3 ^{2 (k + 1)- 1}+ 1 \right) = 2 이다. 그러므로 n = k + 1 일 때도 (\ast) 이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 n 에 대하여 f \left (3 ^{2 n- 1}+ 1 \right) = 2 이다. 위의 (가)에 알맞은 수를 a , (나)에 알맞은 식을 g (p) 라 할 때, a + g (7) 의 값은? ① 65 ② 67 ③ 69 ④ 71 ⑤ 73