2017년 고2 3월 모의고사 (나형) 17번 풀이

자연수 N 을 음이 아닌 정수 m 과 홀수 p 에 대하여 N = 2 ^ { m } \times p 로 나타낼 때, f ( N ) = m 이라 하자. 예를 들어, 72 = 2 ^ { 3 } \times 9 이므로 f ( 72 ) = 3 이다. 다음은 모든 자연수 n 에 대하여 f ( 3 ^ { 2n } + 1 ) = 1\quad\cdots\cdots(\ast) 임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. (ⅰ) n = 1 일 때, 3 ^ { 2 } + 1 = 2 \times 5 이므로 f \left( 3 ^ { 2 } + 1 \right) = 1 이다. 따라서 n = 1 일 때 (\ast) 이 성립한다. (ⅱ) n = k 일 때 ( \ast ) 이 성립한다고 가정하면 f \left( 3 ^ { 2k } + 1\right ) = 1 음이 아닌 정수 m 과 홀수 p 에 대하여 3 ^ { 2k } + 1 = 2 ^ { m } \times p 로 나타낼 수 있으므로 3 ^ { 2k } + 1 = \fbox{\quad\text{(가)}\quad} \times p 이다. \begin{aligned} 3 ^ { 2 ( k + 1 ) } + 1 & = 9 \times 3 ^ { 2k } + 1 \\ & = 2 \times \left(\fbox{\quad\text{(가)}\quad} \right) \end{aligned} 이고, p 는 홀수이므로 \fbox{\quad\text{(나)}\quad} 도 홀수이다. 따라서 f \left( 3 ^ { 2 ( k + 1 ) } + 1 \right) = 1 이다. 그러므로 n = k + 1 일 때도 (\ast) 이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 n 에 대하여 f \left( 3 ^ { 2n } + 1 \right) = 1 이다. 위의 (가)에 알맞은 수를 a , (나)에 알맞은 식을 g ( p ) 라 할 때, a + g ( 11 ) 의 값은? ① 95 ② 97 ③ 99 ④ 101 ⑤ 103