2017년 고3 3월 모의고사 (가형) 20번 풀이

그림과 같이 가로로 n 개, 세로로 2 개씩 총 2n 개의 크기가 같은 정사각형 모양의 타일을 이어 붙인다. contenthub figure 이 타일 중에서 3 개를 골라 검은색으로 칠하되, 검은색으로 칠한 타일이 서로 이어 붙지 않게 하려고 한다. 다음은 검은색으로 칠한 타일이 이어 붙지 않은 경우와 이어 붙은 경우의 한 예이다. 이어 붙지 않은 경우: contenthub figure 이어 붙은 경우: contenthub figure 다음은 n \ge 6 일 때, 검은색으로 칠할 타일 3 개를 고르는 경우의 수 S ( n ) 을 구하는 과정이다. 첫째 줄에 있는 타일 중 검은색으로 칠할 타일의 개수를 k \:( k = 0,\:1,\:2\:,3 ) 이라 하면 (ⅰ) k = 0 일 때 둘째 줄에 있는 n 개의 타일 중에서 검은색으로 칠할 타일 3 개를 고르는 경우의 수는 \boxed{\quad\text{(가)}\quad} 이다. (ⅱ) k = 1 일 때 둘째 줄에 있는 n 개의 타일 중에서 검은색으로 칠할 타일 2 개를 고르는 경우의 수는 \\ _{ 3 } \text{H} _{ n - 3 } 이고, 첫째 줄에서 검은색으로 칠할 타일 1 개를 고르는 경우의 수는 \boxed{\quad\text{(나)}\quad} 이므로, 검은색으로 칠할 타일 3 개를 고르는 경우의 수는 \\ _{ 3 } \text{H} _{ n - 3 } \times \boxed{\quad\text{(나)}\quad} 이다. (ⅲ) k = 2 일 때 (ⅱ)와 같은 방법으로 구할 수 있다. (ⅳ) k = 3 일 때 (ⅰ)과 같은 방법으로 구할 수 있다. 따라서 S ( n ) = \dfrac { 2 ( n - 2 ) \left( 2n ^ { 2 } - 8n + 9\right) } { 3 } 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f ( n ) , g ( n ) 이라 할 때, f ( 10 ) + g ( 8 ) 의 값은? ① 60 ② 61 ③ 62 ④ 63 ⑤ 64