2017년 고3 3월 모의고사 (나형) 18번 풀이

다음은 2 이상의 자연수 n 에 대하여 함수 y=\sqrt{x} 의 그래프와 x 축 및 직선 x=n^{2} 으로 둘러싸인 도형의 내부에 있는 점 중에서 x 좌표와 y 좌표가 모두 정수인 점의 개수 a_{n} 을 구하는 과정이다. n=2 일 때, 곡선 y=\sqrt{x} , x 축 및 직선 x=4 로 둘러싸인 도형의 내부에 있는 점 중에서 x 좌표와 y 좌표가 모두 정수인 점은 (2,\:1) , (3,\:1) 이므로 a_{2}=\fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이다. 3 이상의 자연수 n 에 대하여 a_{n} 을 구하여 보자. contenthub figure 위의 그림과 같이 1 \le k \le n-1 인 정수 k 에 대하여 주어진 도형의 내부에 있는 점 중에서 x 좌표가 정수이고, y 좌표가 k 인 점은 \left(k^{2}+1,\:k\right) , \left(k^{2}+2,\:k\right) , \cdots , \left (\fbox{\quad\text{(나)}\quad},\:k\right ) 이므로 이 점의 개수를 b_{k} 라 하면 b_{k}=\fbox{\quad\text{(나)}\quad}-k^{2} 이다. 따라서 a_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_{k}=\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. contenthub figure 위의 그림과 같이 1 \le k \le n-1 인 정수 k 에 대하여 주어진 도형의 내부에 있는 점 중에서 x 좌표가 정수이고, y 좌표가 k 인 점은 \left(k^{2}+1,\:k\right) , \left(k^{2}+2,\:k\right) , \cdots , \left (\fbox{\quad\text{(나)}\quad},\:k\right ) 이므로 이 점의 개수를 b_{k} 라 하면 b_{k}=\fbox{\quad\text{(나)}\quad}-k^{2} 이다. 따라서 a_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_{k}=\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다.</box>위의 (가)에 알맞은 수를 p 라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(n) , g(n) 이라 할 때, p+f(4)+g(6) 의 값은? ① 131 ② 133 ③ 135 ④ 137 ⑤ 139