2017년 고3 3월 모의고사 (나형) 19번 풀이

그림과 같이 한 변의 길이 가 2 인 정사각형 \text{ABCD} 가 있다. 이 정사각형에 내 접하는 원을 C_{1} 이라 하자. 원 C_{1} 이 변 \text{BC} , \text{CD} 와 접하는 점을 각각 \text{E} , \text{F} 라 하고, 점 \text{F} 를 중심으로 하고 점 \text{E} 를 지나는 원을 C_{2} 라 하자. 원 C_{1} 의 내부와 원 C_{2} 의 외부의 공통부분인 도형과, 원 C_{1} 의 외부와 원 C_{2} 의 내부 및 정사각형 \text{ABCD} 의 내부의 공통부분인 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 두 꼭짓점이 변 \text{CD} 위에 있고 나머지 두 꼭짓점이 정사각형 \text{ABCD} 의 외부에 있으면서 원 C_{2} 위에 있는 정사각형 \text{PQRS} 를 그리고, 이 정사각형 안에 그림 R_{1} 을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n\to\infty}S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{26-5\pi}{6} ② \dfrac{28-5\pi}{6} ③ \dfrac{30-5\pi}{6} ④ \dfrac{32-5\pi}{6} ⑤ \dfrac{34-5\pi}{6}