2017년 고3 4월 모의고사 (가형) 18번 풀이

다음은 자연수 n 에 대하여 부등식 \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{k}{k+1}\times\\_n\text{C}_{k}\right)< 100 을 만족시키는 n 의 최댓값을 구하는 과정이다. 이항정리를 이용하여 (1+x)^{n} 을 전개하면 (1+x)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\times x^{k}\right)\quad\cdots\cdots㉠ 위 식의 양변 에 x=1 을 대입하면 2^n=\\_{n}\text{C}_{0}+\\_{n}\text{C}_{1}+\\_{n}\text{C}_{2}+\cdots+\\_{n}\text{C}_{n}\quad\cdots\cdots㉡ ㉠의 양변을 0 에서 1 까지 적분하여 \begin{aligned}\dfrac{2^{n+1}}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}&={}_{n}\text{C}_{0}+\dfrac{1}{n+1}{}_{n}\text{C}_{1}+\dfrac{1}{3}{}_{n}\text{C}_{2}\\&\qquad+\cdots+\dfrac{1}{n+1}{}_{n}\text{C}_{n}\quad\cdots\cdots㉢\end{aligned} 을 얻는다. ㉡과 ㉢에서 \begin{aligned}& \fbox{\quad\text{(나)}\quad}+\dfrac{1}{n+1}\\&=\dfrac{1}{2}{}_{n}\text{C}_{1}+\dfrac{2}{3}{}_{n}\text{C}_{2}+\dfrac{3}{4}{}_{n}\text{C}_{3}+\cdots+\dfrac{n}{n+1}{}_{n}\text{C}_{n}\\ &=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left(\dfrac{k}{k+1}\times{}_{n}\text{C}_{k}\right)}\text{이므로} \end{aligned} 부등식 \displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left(\dfrac{k}{k+1}\times{}_{n}\text{C}_{k}\right)}< 100 을 만족시키는 n 의 최댓값은 \fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 과정에서 (가)에 알맞은 식에 대하여 k=1 일 때의 식을 f(n) , (나)에 알맞은 식을 g(n) , (다)에 알맞은 수를 p 라 할 때, f(6)\times g(5)+p 의 값은? ① 115 ② 120 ③ 125 ④ 130 ⑤ 135