2017년 고2 6월 모의고사 (가형) 18번 풀이

수열 \left\{a_{n}\right\} 의 일반항은 a_{n}=\dfrac{1}{n} 일 때, 다음은 모든 자연수 n 에 대하여 \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}a_{k+1}\right)^{2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}\right)^{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k+1}\right)^{2}+2\left(a_{n+1}-1\right) \quad \cdots\cdots (\ast) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정의 일부이다. <증명> (ⅰ) n=1 일 때, \left(\text{좌변}\right)=\boxed{\quad\text{(가)}\quad}=\left(\text{우변}\right) 이므로 (\ast) 이 성립한다. (ⅱ) n=m\:(m \ge 1) 일 때, (\ast) 이 성립한다고 가정하면 \displaystyle\sum_{k=1}^{m}\left(a_{k}a_{k+1}\right)^{2}=\sum_{k=1}^{m}\left(a_{k}\right)^{2}+\sum_{k=1}^{m}\left(a_{k+1}\right)^{2}+2\left(a_{m+1}-1\right) 이므로 \begin{aligned}&\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1}\left(a_{k}a_{k+1}\right)^{2}=\sum_{k=1}^{m}\left(a_{k}a_{k+1}\right)^{2}+\left(a_{m+1}a_{m+2}\right)^{2} \\&=\sum_{k=1}^{m}\left(a_{k}\right)^{2}+\sum_{k=1}^{m}\left(a_{k+1}\right)^{2}+2\left(a_{m+1}-1\right)\\&\qquad \qquad+\left(a_{m+1}a_{m+2}\right)^{2} \\&=\sum_{k=1}^{m}\left(a_{k}\right)^{2}+\sum_{k=1}^{m}\left(a_{k+1}\right)^{2}+2\left(\dfrac{1}{m+1}-1\right)\\&\qquad \qquad +\left\{\dfrac{1}{(m+1) (m+2)}\right\}^{2} \\&= \sum_{k=1}^{m+1}(a_{k})^{2} +\sum_{k=1}^{m+1}\left(a_{k+1}\right)^{2} \\&\qquad\qquad+2\left(\dfrac{1}{m+1}-1 -\boxed{\quad\text{(나)}\quad}\right)\end{aligned} \qquad\qquad\qquad\vdots 따라서 n=m+1 일 때도 (\ast) 이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 n 에 대하여 (\ast) 이 성립한다. 위의 과정에서 (가)에 알맞은 수를 p , (나)에 알맞은 식을 f(m) 이라 할 때, \dfrac{p}{f(14)} 의 값은? ① 60 ② 62 ③ 64 ④ 66 ⑤ 68