2017년 고2 6월 모의고사 (가형) 20번 풀이

그림과 같이 한 변의 길이가 4 인 정사각형 \text{ABCD} 의 내부에 지름의 양 끝점이 각각 변 \text{BC} , 변 \text{CD} 위에 있고, 지름이 선분 \text{BD} 와 평행한 반원을 내접하게 그린다. 이 반원의 중심을 \text{O}_{1} 이라 하고 반원이 두 변 \text{AB} , \text{AD} 와 만나는 점을 각각 \text{P}_{1} , \text{Q}_{1} 이라 하자. 중심이 \text{A} , 반지름이 선분 \text{AP}_{1} , 중심각이 \angle \text{P}_{1}\text{AQ}_{1} 인 부채꼴의 내부와 이 반원의 내부의 공통부분인 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에 있는 점 \text{O}_{1} 에서 두 변 \text{BC} , \text{CD} 위에 내린 수선의 발을 각각 \text{B}_{1} , \text{D}_{1} 이라 하고 네 점 \text{O}_{1} , \text{B}_{1} , \text{C} , \text{D}_{1} 을 꼭짓점으로 하는 정사각형 \text{O}_{1}\text{B}_{1}\text{CD}_{1} 을 그린다. 정사각형 \text{O}_{1}\text{B}_{1}\text{CD}_{1} 에 그림 R_{1} 을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n\to\infty}S_{n}=\left(p\sqrt{2}-q\right) (\pi-2) 이다. 두 유리수 p , q 에 대하여 p+q 의 값은? contenthub figure ① 15 ② 16 ③ 17 ④ 18 ⑤ 19