2017년 고2 6월 모의고사 (나형) 17번 풀이

다음은 n \ge 2 인 모든 자연수 n 에 대하여 부등식 \left( 1 + \dfrac { 1 } { 2 } + \dfrac { 1 } { 3 } + \cdots+ \dfrac { 1 } { n } \right)\: ( 1 + 2 + 3 + \cdots + n ) > n ^ { 2 } \cdots\cdots( \ast ) 이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하는 과정이다. 주어진 식 ( \ast ) 의 양변을 \dfrac { n ( n + 1 ) } { 2 } 로 나누면 1 + \dfrac { 1 } { 2 } + \dfrac { 1 } { 3 } +\cdots+ \dfrac { 1 } { n } > \dfrac { 2n } { n + 1 } \quad\cdots\cdots ㉠ 이다 n \ge 2 인 자연수 n 에 대하여 (ⅰ) n = 2 일 때, \left(\text{좌변}\right)=\boxed{\quad\text{(가)}\quad} , \left(\text{우변}\right)= \dfrac { 4 } { 3 } 이므로 ㉠이 성립한다. (ⅱ) n = k\: ( k \ge 2 ) 일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 1 + \dfrac { 1 } { 2 } + \dfrac { 1 } { 3 } + \cdots+ \dfrac { 1 } { k } > \dfrac { 2k } { k + 1 }\quad \cdots\cdots ㉡ 이다. ㉡의 양변에 \dfrac { 1 } { k + 1 } 을 더하면 1 + \dfrac { 1 } { 2 } + \dfrac { 1 } { 3 } + \cdots+ \dfrac { 1 } { k } + \dfrac { 1 } { k + 1 } > \dfrac { 2k + 1 } { k + 1 } 이 성립한다. 한편, \dfrac { 2k + 1 } { k + 1 } -\boxed{\quad\text{(나)}\quad}= \dfrac { k } { ( k + 1 ) ( k + 2 ) } > 0 이므로 1 + \dfrac { 1 } { 2 } + \dfrac { 1 } { 3 } + \cdots+ \dfrac { 1 } { k } + \dfrac { 1 } { k + 1 } >\boxed{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 따라서 n = k + 1 일 때도 ㉠이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 n \ge 2 인 모든 자연수 n 에 대하여 ㉠이 성립하므로 (\ast) 도 성립한다. 위의 (가)에 알맞은 수를 p , (나)에 알맞은 식을 f ( k ) 라 할 때, 8p \times f ( 10 ) 의 값은? ① 14 ② 16 ③ 18 ④ 20 ⑤ 22