2017년 고2 6월 모의고사 (나형) 19번 풀이

길이가 4 인 선분 \text{AB} 를 지름으로 하는 반원 O 가 있다. 그림과 같이 선분 \text{AB} 를 한 변으로 하고 반원 O 에 외접하는 직사각형 \text{ABCD} 를 그린다. 선분 \text{AB} 를 3 : 1 로 내분하는 점을 \text{N} 이라 하고, 점 \text{N} 을 지나고 선분 \text{AB} 와 수직인 직선이 반원 O 와 만나는 점을 \text{P} 라 하자. 반원 O 의 내부와 삼각형 \text{ABP} 의 외부의 공통부분인 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 점 \text{D} 를 중심으로 하고 지름의 길이가 \dfrac{1}{2}\overline{\text{AB}} 인 반원 O_{1} , 점 \text{C} 를 중심으로 하고 지름의 길이가 \dfrac{1}{2}\overline{\text{AB}} 인 반원 O_{2} 를 지름이 직선 \text{DC} 위에 있도록 그린다. 두 반원 O_{1} , O_{2} 에 각각 그림 R_{1} 을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 2 개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n\to\infty}S_{n} 의 값은? contenthub figure ① 3\left(\pi-\sqrt{3}\right) ② 3\left(\pi-\sqrt{2}\right) ③ 3(\pi-1) ④ 4\left(\pi-\sqrt{3}\right) ⑤ 4\left(\pi-\sqrt{2}\right)