(2017년 시행) 2018학년도 고3 6월 평가원 모의고사 (나형) 18번 풀이

한 변의 길이가 2 \sqrt { 3 } 인 정삼각형 \text{A} _{ 1 } \text{B} _{ 1 } \text{C} _{ 1 } 이 있다. 그림과 같이 \angle \text{A} _{ 1 } \text{B} _{ 1 } \text{C} _{ 1 } 의 이등분선과 \angle \text{A} _{ 1 } \text{C} _{ 1 } \text{B} _{ 1 } 의 이등분선이 만나는 점을 \text{A} _{ 2 } 라 하자. 두 선분 \text{B} _{ 1 } \text{A} _{ 2 } , \text{C} _{ 1 } \text{A} _{ 2 } 를 각각 지름으로 하는 반원의 내부와 정삼각형 \text{A}_{ 1 } \text{B} _{ 1 } \text{C} _{ 1 } 의 내부의 공통부분인 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 점 \text{A}_{ 2 } 를 지나고 선분 \text{A}_{ 1 } \text{B} _{ 1 } 에 평행한 직선이 선분 \text{B} _{ 1 } \text{C}_{ 1 } 과 만나는 점을 \text{B} _{ 2 } , 점 \text{A}_{2} 를 지나고 선분 \text{A} _{ 1 } \text{C}_{ 1 } 에 평행한 직선이 선분 \text{B} _{ 1 }\text{C} _{ 1 } 과 만나는 점을 \text{C} _{ 2 } 라 하자. 그림 R_{1} 에 정삼각형 \text{A} _{ 2 } \text{B} _{ 2 } \text{C} _{ 2 } 를 그리고, 그림 R_{1} 을 얻는 것과 같은 방법 으로 정삼각형 \text{A} _{ 2 } \text{B} _{ 2 } \text{C} _{ 2 } 의 내부에 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R _{ 2 } 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R _{ n } 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits _{n\to\infty}S _{ n } 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{9\sqrt{3}+6\pi}{16} ② \dfrac{3\sqrt{3}+4\pi}{8} ③ \dfrac{9\sqrt{3}+8\pi}{16} ④ \dfrac{3\sqrt{3}+2\pi}{4} ⑤ \dfrac{3\sqrt{3}+6\pi}{8}