(2017년 시행) 2018학년도 고3 6월 평가원 모의고사 (나형) 19번 풀이

다음은 x 에 대한 다항식 \left(x+a^{2}\right)^{n} 과 \left(x^{2}-2a\right) (x+a)^{n} 의 전개식에서 x^{n-1} 의 계수가 같게 되는 두 자연수 a 와 n\:(n \ge 4) 의 값을 구하는 과정의 일부이다. \left(x+a^{2}\right)^{n} 의 전개식에서 x^{n-1} 의 계수는 a^{2}n 이다. \left(x^{2}-2a\right) (x+a)^{n}=x^{2}(x+a)^{n}-2a(x+a)^{n} 에서 x^{2}(x+a)^{n} 을 전개하면 x^{n-1} 의 계수는 \fbox{\quad\text{(가)}\quad}\times a^{3} 이고, 2a(x+a)^{n} 을 전개하면 x^{n-1} 의 계수는 2a^{2}n 이다. 따라서 \left(x^{2}-2a\right) (x+a)^{n} 의 전개식에서 x^{n-1} 의 계수는 \fbox{\quad\text{(가)}\quad}\times a^{3}-2a^{2}n 이다. 그러므로 a^{2}n=\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\times a^{3}-2a^{2}n 이고, 이 식을 정리하여 a 를 n 에 관한 식으로 나타내면 a=\dfrac{18}{\fbox{\quad\text{(나)}\quad}} 이다. 여기서 a 는 자연수이고 n 은 4 이상의 자연수이므로 n=\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(n) , g(n) 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 k 라 할 때, f(k)+g(k) 의 값은? ① 10 ② 16 ③ 22 ④ 28 ⑤ 34