2017년 고3 7월 모의고사 (가형) 18번 풀이

1 부터 6 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 6 개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 1 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 3 번 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 차례로 x_{1} , x_{2} , x_{3} 이라 하고, 이 세 수 x_{1} , x_{2} , x_{3} 중에서 최댓값과 최솟값의 차를 확률변수 X 라 하자. 예를 들어 \text{P}(X=1)=\dfrac{5}{36} 이다. 다음은 확률변수 X 의 평균 \text{E}(X) 를 구하는 과정의 일부이다. 세 수 x_{1} , x_{2} , x_{3} 을 순서쌍 \left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right) 과 같이 나타내자. 세 수 x_{1} , x_{2} , x_{3} 중에서 최댓값을 p , 최솟값을 q 라 하고 p-q=k 라 하자. (1) k=0 일 때 순서쌍 \left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right) 의 개수는 \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이고, \text{P}(X=0)=\dfrac{1}{6^{3}}\times\fbox{\quad\text{(가)}\quad} (2) k\ne 0 일 때 ⅰ) k=1 을 만족시키는 순서쌍 \left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right) 의 개수는 5\times\left(\dfrac{3!}{2!}+\dfrac{3!}{2!}\right) 이다. ⅱ) k=2 를 만족시키는 순서쌍 \left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right) 의 개수는 4\times\left(\dfrac{3!}{2!}+\dfrac{3!}{2!}+3!\right) 이다. \quad\vdots 그러므로 1\le k\le5 일 때, 순서쌍 \left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right) 의 개수는 (6-k)\times\left\{\dfrac{3!}{2!}+\dfrac{3!}{2!}+\left(\fbox{\quad\text{(나)}\quad}\right)\times3!\right\} 이고 \begin{aligned} \text{P}(X=k)&=\dfrac{1}{6^{3}}\times(6-k)\\&\qquad\times\left\{\dfrac{3!}{2!}+\dfrac{3!}{2!}+\left(\fbox{\quad\text{(나)}\quad}\right)\times3!\right\}\end{aligned} (1), (2)에 의하여 확률변수 X 의 평균 \text{E}(X) 는 다음과 같다. \begin{aligned}\text{E}(X)&=\displaystyle\sum_{k=0}^{5}\{k\times\text{P}(X=k)\}\\&=\dfrac{1}{6^{2}}\displaystyle\sum_{k=1}^{5}\left(\fbox{\quad\text{(다)}\quad}\right)=\dfrac{35}{12}\end{aligned} 위의 (가)에 알맞은 수를 a 라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(k) , g(k) 라 할 때, \dfrac{f(5)\times g(3)}{a} 의 값은? ① 5 ② 18 ③ 21 ④ 24 ⑤ 27