2017년 고3 7월 모의고사 (나형) 18번 풀이

그림과 같이 한 변의 길이가 2 인 정삼각형 \text{A}_{1}\text{B}_{1}\text{C}_{1} 이 있다. 세 선분 \text{A}_{1}\text{B}_{1} , \text{B}_{1}\text{C}_{1} , \text{C}_{1}\text{A}_{1} 의 중점을 각각 \text{L}_{1} , \text{M}_{1} , \text{N}_{1} 이라 하고, 중심이 \text{M}_{1} , 반지름의 길이가 \overline{\text{M}_{1}\text{N}_{1}} 이고 중심각의 크기가 60\degree 인 부채꼴 \text{M}_{1}\text{N}_{1}\text{L}_{1} 을 그린 후 부채꼴 \text{M}_{1}\text{N}_{1}\text{L}_{1} 의 호 \text{N}_{1}\text{L}_{1} 과 두 선분 \text{A}_{1}\text{L}_{1} , \text{A}_{1}\text{N}_{1} 로 둘러싸인 부분의 도형을 T_{1} 이라 하자. 두 정삼각형 \text{L}_{1}\text{B}_{1}\text{M}_{1} 과 \text{N}_{1}\text{M}_{1}\text{C}_{1} 에 도형 T_{1} 을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 각각의 부채꼴의 호와 두 선분으로 둘러싸인 도형을 각각 T_{2} , T_{3} 이라 하자. 정삼각형 \text{A}_{1}\text{B}_{1}\text{C}_{1} 에서 세 도형 T_{1} , T_{2} , T_{3} 으로 이루어진 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 부채꼴 \text{M}_{1}\text{N}_{1}\text{L}_{1} 의 호 \text{N}_{1}\text{L}_{1} 을 이등분하는 점을 \text{A}_{2} 라 할 때, 부채꼴 \text{M}_{1}\text{N}_{1}\text{L}_{1} 에 내접하는 정삼각형 \text{A}_{2}\text{B}_{2}\text{C}_{2} 를 그리고 그림 R_{1} 을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n \to \infin}S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{3\left(3\sqrt{3}-\pi\right)}{11} ② \dfrac{13\left(3\sqrt{3}-\pi\right)}{44} ③ \dfrac{7\left(3\sqrt{3}-\pi\right)}{22} ④ \dfrac{15\left(3\sqrt{3}-\pi\right)}{44} ⑤ \dfrac{4\left(3\sqrt{3}-\pi\right)}{11}