2017년 고2 9월 모의고사 (가형) 20번 풀이

그림과 같이 길이가 4 인 선분 \text{AB} 를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 \text{AB} 의 중점을 \text{O} 라 하고, 호 \text{AB} 위에 두 점 \text{P} , \text{Q} 를 \angle \text{POA}=\angle \text{BOQ}=30\degree 가 되도록 잡는다. 부채꼴 \text{POQ} 의 내부에서 점 \text{P} 를 중심으로 하고 선분 \text{PO} 를 반지름으로 하는 원의 내부와 점 \text{Q} 를 중심으로 하고 선분 \text{QO} 를 반지름으로 하는 원의 내부의 공통부분을 제외한 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 지름의 양 끝점이 선분 \text{AB} 위에 있고 선분 \text{PO} 와 선분 \text{QO} 에 각각 접하는 가장 큰 반원을 그린다. 새로 그려진 2 개의 반원에 그림 R_{1} 을 얻는 것과 같은 방법으로 도형을 각각 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits _{n\to \infty}S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{15\sqrt{3}}{7} ② \dfrac{16\sqrt{3}}{7} ③ \dfrac{17\sqrt{3}}{7} ④ \dfrac{18\sqrt{3}}{7} ⑤ \dfrac{19\sqrt{3}}{7}