2017년 고2 9월 모의고사 (나형) 18번 풀이

다음 은 3 이 아닌 양수 p 에 대하여 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{p^{n}+3p^{n-1}+3^{2}p^{n-2}+\cdots+3^{n-1}p+3^{n} }{(p+3)^{n}}\\=\dfrac{p^{2}+3p + \fbox{\quad\text{(다)}\quad} }{3p} 가 성립함을 보이는 과정이다. p^{n}+3p^{n-1} +3^{2} p ^{n-2}+\cdots+3^{n-1} p+3^{n} 은 첫째항이 p^{n} , 공비가 \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 인 등비수열의 첫째항부터 제 (n+1) 항까지의 합이고, p \ne 3 이므로 \begin{aligned}&p^{n}+3p^{n-1}+3^{2} p ^{n-2} +\cdots + 3^{n-1} p+3^{n}\\&=\dfrac{p^{n+1}-3^{n+1}}{\fbox{\quad\text{(나)}\quad}}\end{aligned} 이다. 0< \dfrac{p}{p+3}< 1 , 0< \dfrac{3}{p+3} < 1 이므로 \begin{aligned}&\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{p^{n} +3p^{n-1}+3^{2}p^{n-2}+\cdots+3^{n-1}p+3^{n} }{(p+3)^{n}}\\&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{p^{n+1}-3^{n+1} }{\left(\fbox{\quad\text{(나)}\quad}\right)\times(p+3)^{n}}\\&=\dfrac{1}{\fbox{\quad\text{(나)}\quad}} \left\{p\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left( \dfrac{p}{p+3} \right)^{n}-3\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left( \dfrac{p}{p+3} \right)^{n}\right\}\\&=\dfrac{p^{2}+3p+\fbox{\quad\text{(다)}\quad}}{3p}\end{aligned} 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(p) , g(p) 라 하고, (다)에 알맞은 수를 k 라 할 때, f(k)\times g(k) 의 값은? ① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8 ⑤ 10