(2017년 시행) 2018학년도 고3 9월 평가원 모의고사 (가형) 20번 풀이

다음은 n 명의 사람이 각자 세 상자 \text{A} , \text{B} , \text{C} 중 2 개의 상자를 선택하여 각 상자에 공을 하나씩 넣을 때, 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수를 구하는 과정이다. \left(\text{단},\:n\text{은 6의 배수인 자연수이고 공은 구별하지 않는다.}\right) 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우는 '(ⅰ) 세 상자에 공이 들어가는 모든 경우'에서 '(ⅱ) 세 상자에 모두 같은 개수의 공이 들어가는 경우'와 '(ⅲ) 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우'를 제외하면 된다. (ⅰ)의 경우: n 명의 사람이 각자 세 상자 중 공을 넣을 두 상자를 선택하는 경우의 수는 n 명의 사람이 각자 공을 넣지 않을 한 상자를 선택하는 경우의 수와 같다. 따라서 세 상자에서 중복을 허락하여 n 개의 상자를 선택하는 경우의 수인 \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이다. (ⅱ)의 경우: 각 상자에 \dfrac{2n}{3} 개의 공이 들어가는 경우뿐이므로 경우의 수는 1 이다. (ⅲ)의 경우: 두 상자 \text{A} , \text{B} 에 같은 개수의 공이 들어가면 상자 \text{C} 에는 최대 n 개의 공을 넣을 수 있으므로 두 상자 \text{A} , \text{B} 에 각각 \dfrac{n}{2} 개보다 작은 개수의 공이 들어갈 수 없다. 따라서 두 상자 \text{A} , \text{B} 에 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 \fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 그러므로 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 \\_{3}\text{C}_{2}\times\left(\fbox{\quad\text{(나)}\quad} -1\right) 이다. 따라서 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 \fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(n) , g(n) , h(n) 이라 할 때, \dfrac{f(30)}{g(30)}+h(30) 의 값은? ① 481 ② 491 ③ 501 ④ 511 ⑤ 521