Problem 30
(2017년 시행) 2018학년도 고3 9월 평가원 모의고사 (가형) 30번 풀이
함수 f(x)=\ln\left(e^{x}+1\right)+2e^{x} 에 대하여 이차함수 g(x) 와 실수 k 는 다음 조건을 만족시킨다. 함수 h(x)=\left|g(x)-f(x-k)\right| 는 x=k 에서 최솟값 g(k) 를 갖고, 닫힌 구간 [k-1,\:k+1] 에서
문제
함수 f(x)=\ln\left(e^{x}+1\right)+2e^{x} 에 대하여 이차함수 g(x) 와 실수 k 는 다음 조건을 만족시킨다. 함수 h(x)=\left|g(x)-f(x-k)\right| 는 x=k 에서 최솟값 g(k) 를 갖고, 닫힌 구간 [k-1,\:k+1] 에서 최댓값 2e+\ln\left(\dfrac{1+e}{\sqrt{2}}\right) 를 갖는다. g^{\prime}\left(k-\dfrac{1}{2}\right) 의 값을 구하시오. \left(\text{단},\: \dfrac{5}{2} < e < 3\text{이다.}\right)
정답
$6$
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