(2017년 시행) 2018학년도 고3 9월 평가원 모의고사 (나형) 18번 풀이

그림과 같이 반지름의 길이가 2 인 원 O_{1} 에 내접하는 정삼각형 \text{A}_{1} \text{B}_{1} \text{C}_{1} 이 있다. 점 \text{A}_{1} 에서 선분 \text{B}_{1} \text{C}_{1} 에 내린 수선의 발을 \text{D}_{1} 이라 하고, 선분 \text{A}_{1} \text{C}_{1} 을 2: 1 로 내분하는 점을 \text{E}_{1} 이라 하자. 점 \text{A}_{1} 을 포함하지 않는 호 \text{B}_{1} \text{C}_{1} 과 선분 \text{B}_{1} \text{C}_{1} 로 둘러싸인 도형의 내부와 삼각형 \text{A}_{1} \text{D}_{1} \text{E}_{1} 의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에 삼각형 \text{A}_{1} \text{B}_{1} \text{D}_{1} 에 내접하는 원 O_{2} 와 원 O_{2} 에 내접하는 정삼각형 \text{A}_{2} \text{B}_{2} \text{C}_{2} 를 그리고, 점 \text{A}_{2} 에서 선분 \text{B}_{2} \text{C}_{2} 에 내린 수선의 발을 \text{D}_{2} , 선분 \text{A}_{2} \text{C}_{2} 를 2: 1 로 내분하는 점을 \text{E}_{2} 라 하자. 점 \text{A}_{2} 를 포함하지 않는 호 \text{B}_{2} \text{C}_{2} 와 선분 \text{B}_{2} \text{C}_{2} 로 둘러싸인 도형의 내부와 삼각형 \text{A}_{2} \text{D}_{2} \text{E}_{2} 의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits _{n \to \infty} S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{16\left(3 \sqrt{3}-2\right) \pi}{69} ② \dfrac{16\left(3 \sqrt{3}-1\right) \pi}{65} ③ \dfrac{32\left(3 \sqrt{3}-2\right) \pi}{69} ④ \dfrac{32\left(3 \sqrt{3}-1\right) \pi}{69} ⑤ \dfrac{32\left(3 \sqrt{3}-1\right) \pi}{65}