2017년 고3 10월 모의고사 (가형) 19번 풀이

2 이상의 자연수 n 에 대하여 1 \le a < b \le n , 1 \le c < d \le n 을 만족하고, 좌표평면 위의 네 직선 x=a , x=b , y=c , y=d 로 둘러싸인 직사각형의 둘레의 길이가 2n 이 되도록 자연수 a , b , c , d 를 택한다. 다음은 b-a 의 값을 확률변수 X 라 할 때 \text{E}(X)=\dfrac{n}{2} 임을 보이는 과정이다. 확률변수 X 가 가질 수 있는 가장 작은 값은 1 , 가장 큰 값은 \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이다. X=k 일 때, b-a=k 이므로 1 \le a \le n-k 이고, d-c=n-k 이므로 1 \le c \le\fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 그러므로 \text{P}(X=k)=\dfrac{(n-k)\times\fbox{\quad\text{(나)}\quad}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{\tiny\fbox{\text{(가)}}}(n-i)\times i} 이다. 따라서 \begin{aligned}\text{E}(X) & =\displaystyle\sum_{k=1}^{\tiny\fbox{\text{(가)}}}\{k\times\text{P}(X=k)\}\\& =\dfrac{6}{\fbox{\quad\text{(다)}\quad}}\displaystyle\sum_{k=1}^{\tiny\fbox{\text{(가)}}}\left\{k\times(n-k)\times\fbox{\quad\text{(나)}\quad}\right\}\\& =\dfrac{n}{2}\end{aligned} 이다. 위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(n) , g(k) , h(n) 이라 할 때, \dfrac{h(7)}{f(8) \times g(6)} 의 값은? ① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 8