2017년 고3 10월 모의고사 (나형) 18번 풀이

반지름의 길이가 \sqrt{3} 인 원 O 가 있다. 그림과 같이 원 O 위의 한 점 \text{A} 에 대하여 정삼각형 \text{ABC} 를 높이가 원 O 의 반지름의 길이와 같고 선분 \text{BC} 의 중점이 원 O 위의 점이 되도록 그린다. 그리고 정삼각형 \text{ABC} 와 합동인 정삼각형 \text{DEF} 를 점 \text{D} 가 원 O 위에 있고 네 점 \text{B} , \text{C} , \text{E} , \text{F} 가 한 직선 위에 있도록 그린다. 원 O 의 내부와 정삼각형 \text{ABC} 의 내부의 공통부분인 색칠한 부분 모양의 도형과 원 O 의 내부와 정삼각형 \text{DEF} 의 내부의 공통부분인 색칠한 부분 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 두 선분 \text{AC} , \text{DE} 에 동시에 접하고 원 O 에 내접하는 원을 그린 후, 새로 그려진 원에 그림 R_{1} 을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 색칠한 부분 모양의 도형과 색칠한 부분 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits _{n\to \infty}S_{n} 의 값은? contenthub figure ① 2\pi-\sqrt{3} ② \dfrac{4\pi-\sqrt{3}}{3} ③ \dfrac{6\pi-3\sqrt{3}}{4} ④ \dfrac{16\pi-4\sqrt{3}}{7} ⑤ \dfrac{18\pi-9\sqrt{3}}{10}