2017년 고3 10월 모의고사 (나형) 19번 풀이

점 \text{P} 가 수직선 위의 원점에 놓여 있다. 한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수가 6 의 약수이면 점 \text{P} 를 양의 방향으로 2 만큼, 6 의 약수가 아니면 음의 방향으로 1 만큼 움직이는 시행을 반복한다. 점 \text{P} 의 좌표가 9 이상 또는 - 4 이하가 되거나 시행 횟수가 6 회가 되면 위 시행을 멈춘다고 할 때, 점 \text{P} 의 최종 위치의 좌표를 확률변수 X 라 하자. 다음은 확률변수 X 의 평균 \text{E} ( X ) 를 구하는 과정이다. 위의 시행을 5 회 이하로 하게 되는 경우는 6 의 약수인 눈이 처음부터 연속으로 5 회 나오거나 6 의 약수가 아닌 눈이 처음부터 연속으로 4 회 나오는 경우뿐이다. 확률변수 X 가 가질 수 있는 값의 최솟값은 - 4 이고 최댓값은 \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이다. \text{P} ( X = - 4 ) = \left( \dfrac { 1 } { 3 } \right) ^ { 4 } \text{P} ( X = - 3 ) = \fbox{\quad\text{(나)}\quad} \times \left( \dfrac { 2 } { 3 } \right) ^ { 1 } \left( \dfrac { 1 } { 3 } \right) ^ { 5 } \text{P} ( X = 0 ) = \left( \\ _{ 6 } \text{C} _{ 2 } - 1 \right) \left( \dfrac { 2 } { 3 } \right) ^ { 2 } \left( \dfrac { 1 } { 3 } \right) ^ { 4 } \text{P} ( X = 3 ) = \\ _{ 6 } \text{C} _{ 3 } \left( \dfrac { 2 } { 3 } \right) ^ { 3 } \left( \dfrac { 1 } { 3 } \right) ^ { 3 } \text{P} ( X = 6 ) = \\ _{ 6 } \text{C} _{ 4 } \left( \dfrac { 2 } { 3 } \right) ^ { 4 } \left( \dfrac { 1 } { 3 } \right) ^ { 2 } \text{P} ( X =9 ) = \fbox{\quad\text{(다)}\quad} \times \left( \dfrac { 2 } { 3 } \right) ^ { 5 } \left( \dfrac { 1 } { 3 } \right) ^ { 1 } \text{P} \left( X= \fbox{\quad\text{(가)}\quad} \right)= \left( \dfrac { 2 } { 3 } \right) ^ { 5 } 따라서 \text{E} ( X ) = \dfrac { 1420 } { 243 } 위의 ( 가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 a , b , c 라 할 때, a + b + c 의 값은? ① 17 ② 18 ③ 19 ④ 20 ⑤ 21