2017년 고2 11월 모의고사 (나형) 19번 풀이

그림과 같이 한 변의 길이가 4 인 정사각형 \text{A}_{1}\text{B}_{1}\text{C}_{1}\text{D}_{1} 이 있다. 정사각형 \text{A}_{1}\text{B}_{1}\text{C}_{1}\text{D}_{1} 에 내접하는 원 O_{1} 과 선분 \text{A}_{1}\text{B}_{1} 을 지름으로 하는 원의 위쪽 반원을 그린다. 원 O_{1} 의 내부와 선분 \text{A}_{1}\text{B}_{1} 을 지름으로 하는 원의 위쪽 반원의 내부의 공통부분인 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 원 O_{1} 의 내부의 색칠하지 않은 부분인 도형 내부에 원 O_{1} 의 중심을 지나고 선분 \text{A}_{1}\text{B}_{1} 에 평행한 직선 위의 두 점 \text{A}_{2} , \text{B}_{2} 와 원 O_{1} 위의 두 점 \text{C}_{2} , \text{D}_{2} 를 꼭짓점으로 하는 정사각형 \text{A}_{2}\text{B}_{2}\text{C}_{2}\text{D}_{2} 를 그린다. 정사각형 \text{A}_{2}\text{B}_{2}\text{C}_{2}\text{D}_{2} 에 내접하는 원 O_{2} 와 선분 \text{A}_{2}\text{B}_{2} 를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원을 그린다. 원 O_{2} 의 내부와 선분 \text{A}_{2}\text{B}_{2} 를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원의 내부의 공통부분인 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 그림 R_{2} 에서 원 O_{2} 의 내부의 색칠하지 않은 도형 내부에 그림 R_{1} 에서 그림 R_{2} 를 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{3} 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n \to \infin}S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac { 9 } { 4 } \left( \dfrac { 4 } { 3 } \pi - \sqrt { 3 } \right) ② \dfrac { 5 } { 2 } \left( \dfrac { 4 } { 3 } \pi - \sqrt { 3 } \right) ③ \dfrac { 7 } { 2 } \left( \dfrac { 4 } { 3 } \pi - \sqrt { 3 } \right) ④ \dfrac { 4 } { 3 } \left( \dfrac { 8 } { 3 } \pi - \sqrt { 3 } \right) ⑤ \dfrac { 7 } { 4 } \left( \dfrac { 8 } { 3 } \pi - \sqrt { 3 } \right)