2017년 고2 11월 모의고사 (나형) 29번 풀이

두 실수 a(a \ne 0) , b 에 대하여 두 함수 f(x) = \dfrac{1}{3}ax^{3} - bx^{2}-(a-4)x - 3a^{2} , g(x) = (a + b)x^{2} - 2(a + 2)x 가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 f(x) 는 실수 전체의 집합에서 증가하고 방정식 f(x) + g(x) = 0 이 서로 다른 2 개의 실근을 갖는다. 다음은 실수 b 의 범위를 구하는 과정이다. 함수 f(x) 는 실수 전체의 집합에서 증가하므로 a 는 양수이다. 방정식 f^{\prime}(x) = 0 의 판별식을 D 라 하면 D = 4b^{2} + \boxed{\quad\text{(가)}\quad} \le 0 \quad \cdots\cdots㉠ 방정식 f(x) + g(x) = 0 이 서로 다른 2 개의 실근을 가지므로 방정식 x^{3} + 3x^{2} - 9x = \boxed{\quad\text{(나)}\quad} 의 서로 다른 실근의 개수는 2 이다. h(x) = x^{3} + 3x^{2} - 9x 라 하자. 함수 h(x) 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. contenthub figure 따라서 a = \boxed{\quad\text{(다)}\quad}\quad\cdots\cdots㉡ ㉠, ㉡에서 -\sqrt{3} \le b \le \sqrt{3} contenthub figure 따라서 a = \boxed{\quad\text{(다)}\quad}\quad\cdots\cdots㉡ ㉠, ㉡에서 -\sqrt{3} \le b \le \sqrt{3} </box> 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 F(a) , G(a) 라 하고, (다)에 알맞은 수를 k 라 할 때, F(5) + G(4) + k 의 값을 구하시오.