(2017년 시행) 2018학년도 수능 (가형) 19번 풀이

무게가 1 인 추 6 개, 무게가 2 인 추 3 개와 비어 있는 주머니 1 개가 있다. 주사위 한 개를 사용하여 다음의 시행을 한다. \left(\text{단, 무게의 단위는 g이다.}\right) 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 2 이하이면 무게가 1 인 추 1 개를 주머니에 넣고, 눈의 수가 3 이상이면 무게가 2 인 추 1 개를 주머니에 넣는다. 위의 시행을 반복하여 주머니에 들어 있는 추의 총무게가 처음으로 6 보다 크거나 같을 때, 주머니에 들어 있는 추의 개수를 확률변수 X 라 하자. 다음은 X 의 확률질량함수 \text{P} ( X = x )\: ( x = 3,\: 4,\: 5,\: 6 ) 을 구하는 과정이다. (ⅰ) X = 3 인 사건은 주머니에 무게가 2 인 추 3 개가 들어 있는 경우이므로 \text{P} ( X = 3 ) = \boxed{\quad\text{(가)}\quad} (ⅱ) X = 4 인 사건은 세 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 4 이고 네 번째 시행에서 무게가 2 인 추를 넣는 경우와 세 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 5 인 경우로 나눌 수 있다. 그러므로 \text{P} ( X = 4 ) = \boxed{\quad\text{(나)}\quad} +\\_{3}\text{C}_{1} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{1}\left( \dfrac { 2 } { 3 } \right) ^ { 2 } (ⅲ) X = 5 인 사건은 네 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 4 이고 다섯 번째 시행에서 무게가 2 인 추를 넣는 경우와 네 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 5 인 경우로 나눌 수 있다. 그러므로 \text{P} ( X = 5 ) =\\ _{ 4 } \text{C} _{ 4 } \left( \dfrac { 1 } { 3 } \right) ^ { 4 } \left( \dfrac { 2 } { 3 } \right) ^ { 0 } \times \dfrac { 2 } { 3 } + \boxed{\quad\text{(다)}\quad} (ⅳ) X = 6 인 사건은 다섯 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 5 인 경우이므로 \text{P} ( X = 6 ) = \left( \dfrac { 1 } { 3 } \right) ^ { 5 } 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 a , b , c 라 할 때, \dfrac { ab } { c } 의 값은? ① \dfrac { 4 } { 9 } ② \dfrac { 7 } { 9 } ③ \dfrac { 10 } { 9 } ④ \dfrac { 13 } { 9 } ⑤ \dfrac { 16 } { 9 }